Аксиоматический Метод

(греч. axioma — значимое, принятое положение) — способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные (“принципы”) и требующие доказательства (“доказываемые”). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат “Начала” Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. — требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие “аксиома”. Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода — метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как “полуаксиоматический”) и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики “во всех мирах”; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.

В.Л. Абушенко

— один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др ) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в , в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20—30-х гг. 20 в — как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д ) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Гёделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр , арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30—40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др , включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)

- способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.

- способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

А. м. – особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др. А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря “Началам” Евклида, появившимся около 330 – 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его “аксиомах и постулатах” все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. “Скрытые” допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.

A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал известный математик и логик К. Гёдель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Гёделя теорема).